Ringkasan Modul OSN Matematika SMP Jawa Tengah

ALJABAR

            Pada pembinaan  OSN Tahap I, telah dibahas mengenai operasi dasar aljabar dan aritmatika, persamaan dan pertidaksamaan, perbandingan, persamaan garis lurus, sistem persamaan linier dua peubah dan soal cerita yang berkaitan dengan permasalahan laju perubahan.

Pada modul pembinaan Tahap II ini, selain memberikan kelanjutan materi dari modul sebelumnya juga memberikan materi yang berkaitan dengan olimpiade sains bidang matematika khususnya aljabar untuk tingkat kabupaten/kota. Materi yang akan diberikan meliputi : Himpunan, Fungsi,Perbandingan, Faktorisasi Suku Aljabar, Persamaan Garis Lurus,Pertidaksamaan Linier Satu Peubah dan Persamaan dan Sistem Persamaan Linier Dua Peubah. Materi-materi tersebut tidak diberikan secara rinci sebagaimana diberikan oleh buku pegangan Matematika SMP. Sebagaimana telah disampaikan pada pembinaan tahap sebelumnya, hal ini dimaksudkan, agar peserta seleksi olimpiade sains bidang matematika terbiasa untuk menyelesaikan soal-soal aljabar yang memerlukan materi antar bidang.

Untuk lebih mempertajam konsep-konsep yang telah dipelajari, pada bagian akhir dari modul ini akan diberikan latihan soal.

1. Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek yang termuat dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan.

Penyajian Himpunan

Untuk menuliskan sebuah himpunan, terdapat beberapa cara, di antaranya adalah

1. Cara Pendaftaran (Roster Method)

Yaitu cara menuliskan himpunan dengan mendaftar semua objek yang menjadi anggota himpunan.

2. Cara Pencirian (Ruler Method)

Yaitu cara menuliskan himpunan dengan menyebut syarat keanggotaan himpunan.

Contoh 1 :

Misalkan A adalah himpunan bilangan kuadrat sempurna yang kurang dari 30, maka dengan cara pendaftaran, A = { 0, 1, 4, 9, 16, 25 } dan dengan cara pencirian, A dapat dituliskan A = { x : x bilangan kuadrat sempurna kurang dari 30 }.            ■

Bilangan Kardinal

Bilangan kardinal dari himpunan A adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota himpunan A. Biasanya dinotasikan dengan n(A).

Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang sedang dibicarakan. Biasanya dinotasikan dengan S.

Hubungan Antar Himpunan

1. Himpunan Bagian

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B, dinotasikan dengan A  B, jika setiap anggota A merupakan anggota B.

Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan yang mempunyai n anggota adalah 2ⁿ.

2. Himpunan Ekuivalen

Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B, dinotasikan dengan A  B, jika banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B.

3. Himpunan Sama

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, dinotasikan dengan A = B, jika setiap anggota A adalah anggota B, demikian sebaliknya, setiap anggota B juga merupakan anggota A.

4. Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas, jika tidak ada anggota A yang menjadi anggota B atau sebaliknya.

5. Himpunan Saling Berpotongan

Dua himpunan A dan B dikatakan saling berpotongan, jika antara A dan B terdapat anggota yang sama.

Operasi Antar Himpunan

1. Gabungan (Union)

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B, dinotasikan A  B, adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B. Secara matematis dituliskan

A  B = { x | x  A atau x  B }

2. Irisan (Intersection)

Irisan dari himpunan A dan himpunan B, dinotasikan AWB, adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A dan sekaligus anggota B. Dituliskan :

A WB = { x | x Î A dan x ÎB }

3. Selisih (Difference)

Selisih himpunan A dan himpunan B, dinotasikan A – B, adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A tetapi bukan anggota B. Secara matematis dituliskan :

A – B = { x | x ÎA dan x Ï B }

4. Komplemen

Komplemen dari himpunan A, dinotasikan A^C, adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan anggota A tetapi merupakan anggota himpunan semestanya. Secara matematis dituliskan

A^C = { x | x ÏA dan x Î S }

5. Hasil Kali Kartesius (Cartesian Product)

Hasil kali Kartesius himpunan A dan B, dinotasikan A x B, adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan terurut (a, b), dimana a anggota A dan b anggota B. Secara matematis dituliskan

A x B = { (a, b) | a Î A dan b ÎB }

Beberapa Rumus Penting

1. Hukum De Morgan

(A È B)^C = A^C WB^C                                          (A WB)^C = A^C È B^C

2. Rumus Jumlah Anggota Irisan atau Gabungan Himpunan
3. Untuk Dua Himpunan

n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A WB)

1. Untuk Tiga Himpunan

n(A È B È C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A WB) – n(A WC) – n(B W C)

                                 + n(A WB WC)

Contoh 2 :

Dalam seleksi siswa penerima beasiswa, setiap siswa harus lulus dalam tes matematika dan tes bahasa. Dari 180 peserta, terdapat 103 orang yang dinyatakan lulus tes matematika dan 142 orang dinyatakan lulus tes bahasa. Berapakah banyaknya siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa?

Penyelesaian :

Misalkan S = { peserta tes }

A = { siswa yang lulus tes matematika } dan

B = { siswa yang lulus tes bahasa },

maka n(S) = 180, n(A) = 103 dan n(B) = 142.

Dari informasi di atas, maka { siswa yang lulus seleksi } = A WB dan

n(S) = n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A WB)

180 = 103 + 142 – n(A WB)

n(A WB) = 245 – 180 = 65.

Jadi banyaknya siswa penerima beasiswa adalah 65 orang.          ■

1. Fungsi

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Suatu relasi f dari himpunan A ke himpunan B, yang bersifat memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B dinamakan fungsi atau pemetaan.

Fungsi tersebut dituliskan

f : A YB

Himpunan A dinamakan daerah definisi (domain) dan B dinamakan daerah kawan (kodomain).

Jika fungsi f memetakan suatu unsur x Î A ke suatu unsur y Î B, maka dikatakan y adalah peta dari x oleh f dan dituliskan y = f(x).

Jika banyaknya anggota A atau n(A) = a dan banyaknya anggota B atau

n(B) = b, maka banyaknya fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B adalah b^a.

Contoh 3 :

Jika f( ) = , maka nilai f(5) = …

Penyelesaian :

Misalkan  = y, maka  = y² – 2.

Dengan demikian f(y) = y² – 2 dan f(5) = 5² – 2 = 23.          ■

Contoh 4 :

Diketahui fungsi f(x) = a^x melalui titik (3, 2) dan (14, b). Tentukan nilai ab !

Penyelesaian :

Dari informasi fungsi di atas diperoleh f(3) = a³ = 2 dan f(14) = a¹⁴ = b.

Dengan demikian ab = a ∙ a¹⁴ = a¹⁵ = (a³)⁵ = 2⁵ = 32.          ■

Contoh 5 :

Diberikan fungsi f(x) = ax⁵ + bx³ + cx – 5. Jika f(–5) = 5, maka f(5) = …

Penyelesaian :

Diserahkan pembaca sebagai latihan.          ■

1. Perbandingan

Perbandingan antara dua besaran a dan b, ditulis a : b adalah pecahan   .Biasanya perbandingan dua besaran dituliskan dalam pecahan yang paling sederhana dan dua besaran yang dibandingkan harus mempunyai satuan yang sama.

1. Perbandingan Senilai

Misalkan terdapat dua besaran A = { a₁, a₂, a₃, …, a_n } dan B = { b₁, b₂, b₃, …, b_n } yang berkorespondensi satu-satu, maka A dan B dikatakanberbanding senilai jika untuk ukuran A semakin besar maka ukuran B semakin besar pula demikian pula sebaliknya.

Dalam hal ini berlaku :   , dst.

Contoh :

Dua besaran yang berbanding senilai di antaranya :

1. Banyaknya barang dengan jumlah harga
2. Banyaknya liter bahan bakar dengan jarak tempuh sebuah kendaraan, dll.

2. Perbandingan Berbalik Nilai

Misalkan terdapat dua besaran A = { a₁, a₂, a₃, …, a_n } dan B = { b₁, b₂, b₃, …, b_n } yang berkorespondensi satu-satu, maka A dan B dikatakanberbanding berbalik nilai jika untuk ukuran A semakin besar maka ukuran B semakin kecil demikian pula sebaliknya.

Dalam hal ini berlaku :   , dst.

Contoh :

Dua besaran yang berbanding berbalik nilai di antaranya :

1. Kecepatan kendaraan dengan waktu tempuhnya
2. Banyaknya pekerja dengan waktu penyelesaian proyek
3. Banyaknya hewan dengan waktu untuk menghabiskan persediaan makanan, dll.

Proporsional

Proporsional adalah kesamaan dari dua perbandingan. Jadi a : b = c : d atau adalah sebuah proporsional, dengan a dan d disebut batas, sedangkan b dan c disebut pertengahan.

Beberapa hal yang perlu diketahui mengenai proporsional :

1. Dalam proporsional a : b = c : d,

■ a, b, c dan d disebut proporsi

■ d dinamakan proporsi ke-empat terhadap a, b dan c

2. Dalam proporsional a : b = b : c,

■ b disebut proporsi tengah antara a dan c

■ c disebut proporsi ke-tiga terhadap a dan b

3. Rataan proporsi antara a dan b adalah

Contoh 6 :

Sebuah foto berukuran 3 x 4 cm akan diperbesar menjadi 5 kalinya. Perbandingan luas foto sebelum dan sesudah diperbesar adalah …

Penyelesaian :

Ukuran foto semula 3 x 4 cm, maka luasnya L = 12 cm². Foto diperbesar 5 kalinya, maka lebarnya = 5 x 3 = 15 cm dan panjang = 5 x 4 = 20 cm. Jadi ukuran foto yang diperbesar adalah 15 x 20 cm dan luasnya L’ = 300 cm². Dengan demikian perbandingan luas foto   =  =  atau L : L’ = 1 : 25.     ■

Contoh 7 :

Bilangan manakah yang harus ditambahkan ke masing-masing bilangan : 6, 14, 18 dan 38, agar ke-empat bilangan tersebut membentuk suatu proporsional ?

Penyelesaian :

Misalkan bilangan yang harus ditambahkan adalah x, maka berlaku

6 + x : 14 + x = 18 + x : 38 + x

yaitu  =    (6 + x)(38 + x) = (14 + x)(18 + x)

x² + 44x + 228 = x² + 32x + 252

12x = 24

x = 2.

Jadi bilangan yang harus ditambahkan adalah x = 2.     ■

D.Faktorisasi Suku Aljabar

Langkah awal dalam menyelesaikan persoalan matematika menggunakan aljabar adalah penguasan materi yang terkait dengan faktorisasi bentuk-bentuk aljabar. Pada modul pembinaan tahap 1a, telah diberikan bentuk faktorisasi aljabar yang sering digunakan untuk menyelesaikan soal-soal aljabar yang sering muncul dalam olimpiade sains bidang matematika.

Pada modul ini akan ditambahkan beberapa pengembangan dan pengayaan, berupa contoh-contoh dan latihan soal sebagai variasi dari contoh dan latihan soal pada modul sebelumnya.

Contoh 8 :

Jika (3a + b)² = 81 dan ab = 12, maka nilai 18a² + 2b² = …

Penyelesaian :

Perhatikan bahwa (3a + b)² = 9a² + 6ab + b². Dengan demikian,

18a² + 2b² = 2(9a² + b²) = 2[(3a + b)² – 6ab]

= 2(81 – 6 ∙ 12) = 2(81 – 72) = 2 ∙ 9 = 18.     ■

Contoh 9 :

Hitunglah   +    +    + … +    = …

Penyelesaian :

Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Sebagai petunjuk :   = .     ■

1. Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus mempunyai bentuk umum : y = mx + c, dengan m disebut gradient (kemiringan) garis tersebut. Suatu persamaan garis lurus dapat dibentuk, jika diketahui :

1. Dua buah Titik

Jika diketahui dua buah titik (a, b) dan (c, d), maka persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut adalah   =   .

2. Sebuah Titik dan Gradien-nya

Persamaan garis melalui titik (a, b) dan mempunyai gradient m adalah :

y – b = m(x – a).

Titik potong antara dua garis y = ax + b dan y = cx + d dapat ditentukan dengan metode substitusi atau metode eliminasi peubah.

Hubungan antara Dua Garis

Diberikan dua buah garis g₁ : y = m₁x + c₁ dan g₂ : m₂x + c₂.

1. Garis g₁ sejajar g₂, jika m₁ = m₂
2. Garis g₁ tegak lurus g₂, jika m₁ ∙ m₂ = –1

Contoh 10 :

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (1, 2) dan tegak lurus dengan garis 2x – 3y = 5.

Penyelesaian :

Diketahui garis g₁ : 2x – 3y = 5, maka m₁ =  .

Misalkan g₂ adalah garis yang melalui titik (1, 2) dan mempunyai gradient m₂, maka persamaan garis g₂ : y – 2 = m₂(x – 1).

Karena garis g₂ tegak lurus g₁, maka berlaku m₁ ∙ m₂ = –1 atau m₂ = –  .

Sehingga persamaan garis g₂ : y – 2 = –  (x – 1) atau 2y + 3x – 7 = 0.     ■

1. Pertidaksamaan Linier Satu Peubah

Pertidaksamaan linier adalah kalimat terbuka dengan peubah berpangkat satu yang memiliki hubungan ketidaksamaan <, >, ≤ atau ≥.

Beberapa ketidaksamaan yang telah diberikan pada modul pembinaan tahap 1a, memegang peranan penting di dalam menyelesaikan soal-soal matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan.

Contoh 11 :

Sebuah persegi panjang mempunyai panjang 5 cm lebih dari lebarnya dan kelilingnya tidak lebih dari 38 cm. Jika lebar dari persegi panjang tersebut adalah x cm, maka batas-batas nilai x adalah …

Penyelesaian :

Diketahui lebar l = x cm, maka panjang p = (x + 5) cm.

Perhatikan bahwa panjang + lebar =  keliling, dengan demikian

(x + 5) + x ≤   (38)   2x + 5 ≤ 19

2x ≤ 19 – 5

2x ≤ 14

x ≤ 7.

Karena lebar harus positip, yaitu x > 0, maka batas-batas nilai x adalah :

0 < x ≤ 7.     ■

Contoh 12 :

Buktikan bahwa jumlah sebarang bilangan positip dan kebalikannya senantiasa tidak pernah kurang dari 2.

Bukti :

Akan diperlihatkan bahwa a +    ≥ 2, untuk setiap a > 0.

Perhatikan bahwa dari a +    ≥ 2, diperoleh a² + 1 ≥ 2a atau a² – 2a + 1 ≥ 0,

yaitu (a – 1)² ≥ 0, yang sudah pasti benar.

Sehingga untuk membuktikan pernyataan di atas, kita mulai dari : (a – 1)²≥ 0, yang diketahui benar, maka a² – 2a + 1 ≥ 0 atau a² + 1 ≥ 2a. Hingga akhirnya diperoleh a +    ≥ 2.     ■

1. Persamaan dan Sistem Persamaan Linier

Persamaan dan sistem persamaan linier yang dimaksud di sini adalah persamaan dan sistem persamaan linier dengan dua peubah. Sebagai pengayaan, diberikan persamaan dan sistem persamaan linier dengan tiga peubah. Untuk menyelesaikan sistem persamaan biasanya digunakan metode substitusi dan metode eliminasi. Dengan menggunakan dua metode ini, sistem persamaan linier dapat diselesaikan.

Contoh 13 :

Pada sebuah ladang terdapat 15 ekor hewan yang terdiri dari ayam dan kambing. Jika jumlah kaki-kaki hewan tersebut ada 42, maka banyaknya kambing di ladang tersebut adalah …

Penyelesaian :

Misalkan banyaknya ayam = x dan banyaknya kambing = y, maka diperoleh

Eliminasikan peubah x dari SPL di atas :

=========== –

–2y = –12  y = 6.

Jadi banyaknya kambing = y = 6.     ■

Contoh 14 :

Dari sistem persamaan linier : , tentukan berapakah

nilai x² – y² !

Penyelesaian :

123x + 321y = 345

321x + 123y = 543

=============== –

444x + 444y = 888  x + y = 2.

Demikian juga 321x + 123y = 543

123x + 321y = 345

=============== –

198x – 198y = 198  x – y = 1.

Dengan demikian x² – y² = (x + y)(x – y) = 2 ∙ 1 = 2.     ■

Contoh 15 :

Tentukan nilai a + b + c + d, jika diketahui a + 2b + 3c = 150, 6a + 2c = 100 dan

3b + 6d = 300.

Penyelesaian :

Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.     ■

Soal-soal :

1. Dari 25 orang yang melamar suatu pekerjaan, diketahui bahwa 7 orang berumur lebih dari 30 tahun dan 15 orang bergelar sarjana. Di antara pelamar yang bergelar sarjana 5 orang berumur lebih dari 30 tahun. Berapakah banyaknya pelamar yang bukan sarjana dan berumur kurang dari 30 tahun ?

2. Tentukan bilangan asli terkecil n sedemikian hingga setiap himpunan bagian dari { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } yang beranggotakan n unsur senantiasa memuat dua anggota yang berselisih 6 !

3. Jika f( ) = , maka nilai f(3) = …

4. Tentukan nilai a dan b agar fungsi f(x) = x² + ax + b mempunyai akar-akar

a dan b !

5. Tanpa menggunakan kalkulator hitunglah :

6. Misalkan N adalah himpunan semua bilangan asli dan f : N N adalah fungsi yang memenuhi :
7. f(m + n) = f(m) + f(n) + 2mn
8. f(1) = 1

Tentukan nilai dari f(20) !

7. Perbandingan umur ayah, ibu dan lima kali umur anak saat ini adalah 6 : 5 : 1. Lima belas tahun yang akan datang perbandingan umur ayah, ibu dan umur anak setelah dikurangi 6 adalah 9 : 8 : 2. Berapakah jumlah umur mereka lima tahun yang akan datang ?

8. Dalam suatu kelas bagian dari jumlah muridnya adalah wanita. Ke dalam kelas tersebut ditambahkan 5 murid pria dan 5 murid wanita. Sekarang   bagian dari jumlah muridnya adalah pria. Berapakah banyaknya murid dalam kelas mula-mula ?

9. Jika x = dan y =  , maka perbandingan x dan y adalah …

10. Jika 2007 = a² + b² – 5c², untuk suatu bilangan asli a, b dan c, maka nilai

a + b – c = …

11. Diketahui sisi miring suatu segitiga siku-siku panjangnya 5 cm dan luasnya 3,5 cm². Berapakah panjang kedua sisi lainnya ?

12. Jika x + =   , maka x –    = …

13. Tentukan jumlahan dari :

14. Jika garis (x – 2y) + a(x + y) = a sejajar dengan garis (5y – x) + 3a(x + y) = 2a, maka nilai a adalah …

15. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :

1 + x + x² + x³ + … + x⁹⁹ ≤ 0.

16. Buktikan bahwa !

17. Jika a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan positip yang memenuhi , buktikan bahwa  .

18. Tentukan semua pasangan bilangan real (x, y) yang memenuhi persamaan :

x² + y² = 2x – 4y – 5.

19. Jika (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) adalah penyelesaian persamaan :

x³ + y³ + 3x² – 6y² + 3x + 12y – 8 = 0,

untuk x dan y bilangan-bilangan bulat, maka nilai y₁ + y₂ = …

(Materi ini dibuat oleh Tim Pembinaan OSN Jawa Tengah, Universitas Diponegoro)